Цель работы – ознакомиться с методами численного решения систем линейных алгебраических и трансцендентных (нелинейных) уравнений. Получить навыки в разработке алгоритмов и программ реализующих методы решения таких систем уравнений. Закрепить знания по использованию пакета прикладных программ по расчету термодинамических свойств воды и водяного пара на примерах расчета теплообменников и фрагментов тепловых схем ТЭС.

Настоящая работа строится на знаниях, полученных в предыдущих лабораторных работах, и в основе своей опирается на Лабораторную работу 4.

В материалах ЛР-4 дано описание основных элементов (оборудования) тепловой схемы ТЭС. Представлены их математические модели в виде уравнений (систем уравнений) тепловых и материальных балансов. Аналогично работе 4 ниже представлена математическая модель (уравнение балансов) подогревателя поверхностного типа (зона собственно подогреватель) и его обозначение на тепловой схеме.

`D_п*(h_п - bar t_(др))*eta = G_в*(bar t_(в)^' - bar t_в)`
где:
`D_п` - расход греющего пара, `кг//с`
`h_п` - энтальпия греющего пара, `кДж//кг`
`bar t_(др)` - энтальпия дренажа пара, `кДж//кг`
`eta` - к.п.д. подогревателя, `(0.9 -: 0.98)`
`G_в` - расход нагреваемой воды, `кг//с`
`bar t_(в)^'` - энтальпия воды на выходе из подогревателя, `кДж//кг`
`bar t_в` - энтальпия воды на входе в подогреватель, `кДж//кг`

Энтальпия греющего пара является функцией его давления и температуры: `h_п = h(P_п, t_п)` . Энтальпия дренажа греющего пара равна энтальпии насыщенной воды, определяемой по давлению греющего пара `bar t_(др) = h^'(P_п)`.

Подогреватель поверхностного типа (зона - собственно подогреватель).

Энтальпия нагреваемой воды на выходе из подогревателя поверхностного типа зависит от давления и температуры воды: `bar t_(в)^' = h(P_в, t_в^')` , где `t_в^'` – температура нагреваемой воды на выходе из подогревателя, определяемая в свою очередь, как разность температуры дренажа греющего пара и величины недогрева: `bar t_(в)^' = t_s(P_п)-theta` . Значение `theta` в инженерных расчетах для подогревателей высокого давления (ПВД) принимается `2 ÷ 4 °С`, а для подогревателей низкого давления (ПНД) – `3 ÷ 6 °С`. Величина энтальпии нагреваемой среды на входе в теплообменник `bar t_(в)` определяется типом элемента тепловой схемы стоящего перед рассчитываемым элементом против хода движения нагреваемой среды. Нагрев теплоносителя в таких теплообменниках осуществляется в основном за счет скрытой теплоты, выделяющейся при изменении агрегатного состояния (конденсации) греющего пара. Все теплообменники, работающие по вы-шеизложенному принципу, называются собственно подогревателями (СП).

Повторим.

✅ Лабораторная работа 1.   Представлена библиотека элементов тепловой схемы ТЭС. Дано описание каждого элемента, его графическое изображение. Отработаны основные навыки построения тепловых схем ТЭС в редакторе MS Visio.

✅ Лабораторная работа 2.   Изучена библиотека по расчету термодинамических свойств воды и водяного пара. Дано описание функций библиотеки. Отработаны навыки разработки прикладной программы по расчету свойств воды и водяного пара, процесса расширения пара в проточной части турбины на языке программирования C#.

✅ Лабораторная работа 3.   Рассмотрены численые методы решения нелинейных (трансцендентных) уравнений. Закреплены навыки разработки прикладной программы по расчету свойств воды и водяного пара на языке программирования C#. Разработана программа реализующая численный метод решения нелинейного уравнения итерационными методами Бисекции и Хорд.

✅ Лабораторная работа 4.   Повторно рассмотрены основные правила построения тепловых схем ТЭС. Изучено функциональное назначение тепло-, массообменного оборудования тепловых схем, принципы его работы и термодинамические преобразования (переход фазового состояния) теплоносителей до и после элементов. Типы и направления движения теплоносителей, их качественные отличия.

Лабораторная работа 5 закрепляет весть ранее изученный материал и является подготовительной к Расчетно-графическому заданию.

Определение расходов греющего пара на регенеративный подогрев в получаемых системах линейных алгебраических уравнений производится с использованием численных методов решения подобных систем. Для этого уравнения балансов элементов (см. ЛР-4) приводят к следующему виду:

` { (a_11 x_1 + a_12 x_2 + a_13 x_3 + ... + a_(1n) x_n = b_1), (a_21 x_1 + a_22 x_2 + a_23 x_3 + ... + a_(2n) x_n = b_2), (a_31 x_1 + a_32 x_2 + a_33 x_3 + ... + a_(3n) x_n = b_3), (... ... ...), (a_(n1) x_1 + a_(n2) x_2 + a_(n3) x_3 + ... + a_(n n) x_n = b_n):}`

где:
`a_(ij)` - значения коэффициентов при неизвестных;
`x_i` - искомые корни системы уравнений (неизвестная величина);
`b_i` - значения правых частей уравнения.

Так, применительно к расчету теплообменника поверхностного типа состоящего из охладителя пара, собственно подогревателя и охладителя дренажа такая система будет выглядеть следующим образом:

Подогреватель поверхностного типа с охладителем пара (ОП), собственно подогревателем (СП) и охладителем дренажа (ОД).

`{ (D_п*(h_п - h_п^')*eta - G_в*bar t_(oп) = -G_в* bar t_(сп)), (D_п*(h_п^' - bar t_д)*eta + G_в* bar t_(од) = G_в * bar t_(сп)), (D_п*(bar t_д - bar t_д^')*eta - G_в* bar t_(oд) = -G_в * bar t_(в)):}`

где:

Для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) применяют в основном два класса методов: прямые и итерационные. Прямые методы являются универсальными и применяются для решения систем сравнительно невысокого порядка (`n < 200`). К числу таких методов относятся метод Крамера, метод Гаусса и т.д.

Итерационные методы эффективно использовать для решения СЛАУ высокого порядка со слабо заполненными матрицами. Яркими представителями подобного класса методов являются методы Якоби и Зейделя.

Метод Крамера

Метод Крамера для решения систем алгебраических уравнений основан на их матричном представлении: `Ax=B,`

`где bb" " A = | (a_11 bb" " a_12 bb" " ... bb" " a_(1n)), (a_21 bb" " a_22 bb" " ... bb" " a_(2n)), (... bb" " ... bb" " ... bb" " ...), (a_(n1) bb" " a_(n2) bb" " ... bb" " a_(n n)) |`, `bb" " x = | (x_1), (x_2), (...), (x_n) |`, `bb" " B = | (b_1), (b_2), (...), (b_n) |`

Согласно методу, определение матрицы неизвестных величин `x` осуществляется по формуле: `x_i=Delta_i/Delta` , где `Delta` – значение главного определителя, составленного из коэффициентов при неизвестных `a_(ij)-A`; `Delta_i`– значение вспомогательных определителей, образованных из главного путем замещения соответствующего `i` - го столбца матрицы `A` на столбец значений правой части системы – `B`.

Количество вспомогательных определителей в данном случае будет равно числу искомых переменных – `n`. Например,

`Delta_1 = | (b_1 bb" " a_12 bb" " a_13 bb" " a_(1n)), (b_2 bb" " a_22 bb" " a_23 bb" " a_(2n)), (... bb" " ... bb" " ... bb" " ...), (b_n bb" " a_(n2) bb" " a_(n3) bb" " a_(n n)) |`, `Delta_2 = | (a_11 bb" " b_1 bb" " a_13 bb" " a_(1n)), (a_21 bb" " b_2 bb" " a_23 bb" " a_(2n)), (... bb" " ... bb" " ... bb" " ...), (a_(n1) bb" " b_(n) bb" " a_(n3) bb" " a_(n n)) |`, `Delta_n = | (a_11 bb" " a_12 bb" " a_13 bb" " b_1), (a_21 bb" " a_22 bb" " a_23 bb" " b_2), (... bb" " ... bb" " ... bb" " ...), (a_(n1) bb" " a_(n2) bb" " a_(n3) bb" " b_n) |`

Метод Гаусса

Метод Гаусса является одним из самых распространенных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Этот метод называют также методом последовательного исключения неизвестных.

Вычисления с помощью метода Гаусса состоят из двух основных этапов, называемых прямым ходом и обратным ходом.

Прямой ход метода Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из системы линейных алгебраических уравнений для преобразования ее к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей. Вычисление значений неизвестных проводят на этапе обратного хода.

Рассмотрим схему решения СЛАУ методом Гаусса.

Прямой ход. На первом шаге алгоритма исключают неизвестное `x_1` из уравнений с номерами `2, 3, 4, ..., n.`. Чтобы исключить `x_1` из `i`-го уравнения, необходимо первое уравнение умножить на отношение `a_(i1)/a_11` и вычесть его из `i`-го уравнения. Это позволит обратить в нуль коэффициенты при `x_1` во всех уравнениях, кроме первого. В результате получим эквивалентную систему.

На втором шаге исключаем из полученной системы неизвестное `x_2` из уравнений `3, 4, ..., n.` Множители второго шага вычислим по выражению `a_(i2)^((1))/a_(22)^((1))` и вычислим последовательно из третьего, четвертого и `..., n-го` уравнений ранее преобразованной СЛАУ второе уравнение, умноженное на соответствующие множители.

Аналогично проводятся остальные шаги. После `(n-1)–го` шага исключения получают систему уравнений следующего вида:

Полученная матрица `A^((n-1))` является верхней треугольной матрицей. На этом вычисления прямого хода заканчиваются.

Обратный ход. Из последнего уравнения треугольной системы находят `x_n`. Подставляя найденные значения `x_n` в предпоследнее уравнение, получают `x_(n-1)`. Осуществляя обратную подстановку, далее последовательно находят неизвестные `x_(n-2), x_(n-3), ..., x_3, x_2, x_1`.

Нетрудно заметить, что для реализации метода Гаусса требуется `2/3 n^2` арифметических действий, причем подавляющее число действий совершается на этапе прямого хода.

Задание 1 к работе 5
Рассчет фрагмента тепловой схемы

1. В соответствии с вариантом задания из ЛР-4 , с использованием библиотеки элементов разработать фрагмент тепловой схемы.

2. Составить систему уравнений, описывающих фрагмент тепловой схемы.

3. Разработать блок-схему алгоритма расчета фрагмента тепловой схемы, которая включает ввод исходных данных, определение параметров воды, дренажа и пара, определение искомых величин и вывод на печать полученных результатов.

4. Составить программу расчета фрагмента схемы с наглядной печатью исходных данных, результатов расчета.

Отчет о выполнении работы оформить по форме по ссылке ниже.

Дополнительное задание к работе 5
Численное моделирование работы отсека паровой турбины.

Цель работы – изучение работы отсека паровой турбины регенеративного отбора с подключенным к нему теплообменником при изменении расхода пара через отсек. Приобретение навыков в разработке программ имеющих сложную структуру. Закрепление знаний по использованию пакета прикладных программ по расчету термодинамических параметров воды и водяного пара.

Краткие сведения

Проточную часть современной паровой турбины условно можно разбить на ряд последовательно соединенных по пару групп ступеней, отсеков турбины. Под отсеком турбины понимается группа ступеней, заключенная между двумя регенеративными отборами, или началом проточной части и первым отбором, или последним регенеративным отбором и выхлопным патрубком. Регулирование вырабатываемой мощности паротурбинной установки осуществля-ется в основном регулирующими клапанами. При этом изменяется расход пара по проточной части, его параметры (температура, давление, энтальпия), а также расход пара в регенеративный отбор турбины.

Изменение параметров пара в отборе турбины и его расхода в регенеративный подогреватель приводит к изменению температуры питательной воды в теплообменнике. Учет и оценка изменения параметров в отборе, и следовательно, нагреваемой среды выполняется по следующей методике.

На рисунке ниже представлен отсек турбины с регенеративным отбором и подключенным к нему (отбору) теплообменником, где `D_п, P_п, t_п` – расход, давление и температура пара на входе в отсек турбины; `D_k, P_k, t_k` – расход, давление и температура пара в выхлопном патрубке турбины.

Расчетная схема моделирования работы отсека турбины.

Индекс `0` соответствует значению любого из параметров на номинальном режиме (режим, который был рассчитан в задании 1 текущений лабораторной работы). Параметры без индекса `0` соответствуют расчетному (переменному) режиму работы отсека турбины.

Связь между параметрами пара перед и за отсеком и расходом пара через отсек выражается формулой Флюгеля-Стодоллы (формула 5.1): `D_(k0)/D_k = sqrt((P_(n0)^2 - P_(k0)^2)/(P_n^2 - P_k^2));`

Изменение температуры пара перед отсеком (в отборе турбины) от изменения расхода пара в конденсатор описывается зависимостью (формула 5.2): `t_n/t_(n0) = 0.111 D_k/D_(k0) + 0.889;`

Изменение внутреннего относительного коэффициента полезного действия отсека от изменения расхода пара в конденсатор `(D_k/D_(k0))` оценивается по выражению (формула 5.3): `eta_(oi)=0.555 D_k/D_(k0)+0.344;`

Внутренняя мощность отсека определяется по формуле (формула 5.4):
`N_i=D_k*H_(0i)*eta_(0i);`

где:
`H_(0i)` - располагаемый теоретический теплоперепад `i-го` отсека турбины;
`H_(0i) * eta_(0i)` - действительный теплоперепад на `i-й` отсек `H_i`;

Порядок выполнения работы

1. Разработать программу расчета узла тепловой схемы турбоустановки при изменении режима работы турбины (расхода пара через отсек). В состав расчетной схемы входит отсек проточной части турбины (рисунок выше) и узел тепловой схемы (по заданию 1 текущей лабораторной работы).

2. При изменении расхода пара через отсек изменяются параметры пара в отборах, что приводит к изменению режима работы узла тепловой схемы (изменению расхода пара в отбор, температуры подогрева питательной воды и т.д.). Новые расчетные значения давления `P_п` и температуры пара `t_п` в отборе можно оценить по формулам (5.1, 5.2). В качестве исходных данных при номинальном режиме работы отсека следует принять известные параметры из задания 1 текущей лабораторной работы. Давление в конденсаторе считать неизменным и равным `P_k = P_(k0) = 0.0035` `МПа`, расход пара в конденсатор при номинальном режиме `D_(k0)=55` `кг//с`. Необходимо организовать определение искомых параметров при изменении расхода пара в конденсатор `D_k` от `100%` до `30%` с шагом в `10%.`

3. Искомые величины:
     - давление (`P_n`, `МПа`) и температура ( `t_n`, `°С`) в камере отбора;
     - расход пара в отбор (`D_п`, `кг//с`);
     - температура питательной воды или основного конденсата на выходе из теплообменника;
     - к.п.д. отсека турбины (`eta_(oi)`, `%`);
     - внутренняя мощность отсека (`N_i`, `МВт`).

4. Программу расчета целесообразно представить в виде двух модулей – головной (организующей) программы и подпрограммы-функции. Головная программа может включать ввод исходных данных, определение параметров в камере отбора турбины, к.п.д. и мощность отсека, обращение к подпрограмме-функции и вывод результатов на печать. В таком случае подпрограмма должна выполнять расчет узла тепловой схемы. Для ее разработки необходимо воспользоваться С#-программой из задания 1 текущений лабораторной работы. При этом следует правильно описать ее тип, имя и список фактических и формальных входных параметров, включающий давление в камере отбора и температуру пара.

Результаты расчетов представить либо в табличном виде, либо в виде графических зависимостей изменения температуры, давления и расхода пара в регенеративном отборе и температуры питательной воды или основного конденсата на выходе из теплообменника от изменения расхода пара в конденсатор турбины: `t_п=f(D_k/D_(k0))`; `P_п=f(D_k/D_(k0))`; `D_п=f(D_k/D_(k0))`; `bar t_пв=f(D_k/D_(k0))` и т.д.

Содержание отчета по дополнительному заданию к работе 5

1. Исходные данные и полная схема фрагмента тепловой схемы.

2. Блок-схемы алгоритмов головной программы и подпрограммы-функции.

3. Листинг распечатки текста программы и полученных результатов.

4. Анализ полученных графических зависимостей изменения основных режимных параметров работы отсека турбины на переменном режиме.

Отчет о выполнении работы оформить по форме по ссылке ниже.